平面内点坐标的分解

数学 > 几何

发布时间 : 2024-09-16 03:08

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看题目有点绕，但其实要做的事情很简单。

假设一个平面，由不共线三点OAB构成。设$\vec{OA} = \vec{i}$，$\vec{OB} = \vec{j}$

则平面内任意一点$P = O + \alpha\vec{i} + \beta\vec{j}$

现在该平面内点P,O,A,B坐标，分解得到$\alpha$和$\beta$

要求解两个参数，紧紧靠解方程是不能满足所有可能的，因为$\vec{i}$和$\vec{j}$的坐标表示可能包含有0。

那要解出这两个参数，就需要将该平面内的向量根据法向量来建立关系。

先求解$\beta$。根据向量外积的分配律和数积的结合律有$\vec{i}\times\vec{OP}$=$\vec{i}\times(\alpha\vec{i}+\beta\vec{j})$=$\beta(\vec{i}\times\vec{j})$

则在数值上$\left|\beta\right| = \frac{\left|\vec{i}\times\vec{OP}\right|}{\left|\vec{i}\times\vec{j}\right|}$

由于$\vec{i}\times\vec{OP}$与$\vec{i}\times\vec{j}$同方向。夹角为0或$\pi$。则可以计算

$\beta = \frac{\left|\vec{i}\times\vec{OP}\right|}{\left|\vec{i}\times\vec{j}\right|}cos(\theta) = \frac{\left|\vec{i}\times\vec{OP}\right|}{\left|\vec{i}\times\vec{j}\right|}(\frac{(\vec{i}\times\vec{OP})\cdot(\vec{i}\times\vec{j})}{\left|\vec{i}\times\vec{OP}\right|\left|\vec{i}\times\vec{j}\right|}) = \frac{(\vec{i}\times\vec{OP})\cdot(\vec{i}\times\vec{j})}{\left|\vec{i}\times\vec{j}\right|^2}$

同理可以计算$\alpha$的值。

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