海面模拟（一）

  在已知圆外一点坐标、圆心坐标和半径的情况下，如何计算切线坐标是一个会经常用到的技巧。可以很容易推导出计算切线长度的公式和两条切线的夹角，切线向量的坐标，想必也会存在一个计算公式，可以直接算出切线向量。

  下面就推导切线向量的计算公式。假设圆外一点$P(x_0,y_0)$，圆心为$C(x_c,y_c)$，半径为$r$.

  首先，计算圆心相对于圆外一点的相对偏移量。

$$\vec{\omega}=C-P=(\omega_x,\omega_y)$$

  由勾股定理，可以计算切线的长度。

$$l^2 = |\vec{\omega}|^2-r^2$$

  圆外一点可以向圆作两条切线。假设切点为$P_t(x,y)$，则$\vec{PP_t}$是切线向量。

$$\vec{PP_t}=P_t-P=(x-x_0,y-y_0)$$

  将$\vec{PP_t}$的坐标记为$(x_t,y_t)$

  由斯密特正交化可得，与切线垂直的向量$\vec{P_c}$为

$$\vec{P_c}=(-y_t,x_t)$$

  最后，建立方程并求解。

$$\vec{P_c}\cdot\vec{\omega}=|\vec{\omega}||\vec{P_c}|cos(\alpha)=|\vec{\omega}||l|cos(\alpha)\\ \vec{PP_t}\cdot\vec{\omega}=|\vec{\omega}||l|cos(\theta)$$

  $\alpha$和$\theta​$，如下图所示。且两个角的余弦如下

$$cos(\alpha)=\frac{r}{|\vec{\omega}|}\\ cos(\theta)=\frac{l}{|\vec{\omega}|}$$

  代入上面的方程并展开，则有

$$-y_t\omega_x+x_t\omega_y=|l|\cdot|r|\\ x_t\omega_t+y_t\omega_y=|l|^2$$

  求解后可得

$$x_t=\frac{|l|\cdot(|l|\omega_x + |r|\omega_y)}{|\vec{\omega}|^2}\\ y_t=\frac{|l|\cdot(-r\omega_x+|l|\omega_y)}{|\vec{\omega}|^2}$$

  由此可以算出切点的坐标。

另一条切线

  上述方式只能算出其中一条切线。而另一条切线的计算，在斯密特证交化这一步有出入。

$$\vec{P_c}=(y_t,-x_t)$$

  但是建立方程和后续的步骤一致。可得

$$x_t=\frac{|l|\cdot(|l|\omega_x - |r|\omega_y)}{|\vec{\omega}|^2}\\ y_t=\frac{|l|\cdot(r\omega_x+|l|\omega_y)}{|\vec{\omega}|^2}$$

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